Funkce s konečnou variací

Abstract

Title: Functions of bounded variation Author: Bc. Kateřina Stuchlá Department: Department of Mathematics Education Supervisor: doc. RNDr. Antonín Slavík, Ph.D., DSc., Department of Mathematics Education Abstract: This thesis introduces the notion of variation of a function in connection with the Fourier series theory. It includes a proof of the Dirichlet-Jordan theorem, which states that any function of bounded variation has a pointwise convergent Fourier series. The thesis includes some generalisations of the notion of variation such as the p-variation, Φ-variation, Λ-variation and harmonic variation. Also some connections between these concepts are described. The theory is illustrated by examples such as the derivation of the p-variation formula for a zig-zag function. The set of all functions of bounded variation is extended by additional functions whose Fourier series also converge, in particular functions of bounded p-variation and functions of bounded harmonic variation.

Název práce: Funkce s konečnou variací Autor: Bc. Kateřina Stuchlá Katedra: Katedra didaktiky matematiky Vedoucí diplomové práce: doc. RNDr. Antonín Slavík, Ph.D., DSc., Katedra didaktiky matematiky Abstrakt: Tato práce zavádí pojem variace funkce v souvislosti s teorií Fourierových řad. Obsahuje důkaz Dirichletovy-Jordanovy věty, která říká, že každá funkce s konečnou variací má bodově konvergentní Fourierovu řadu. V rámci práce jsou definována různá zobecnění pojmu variace jako p-variace, Φ-variace, Λ-variace a harmonická variace a popsány jsou také vztahy mezi jednotlivými zobecněními. Teorie je ilustrována na příkladech, v rámci kterých je mimo jiné odvozen vzorec pro p-variaci funkce cik-cak. Množina funkcí s konečnou variací je rozšířena o další funkce, jejichž Fourierova řada rovněž konverguje, konkrétně o funkce s konečnou p-variací či funkce s konečnou harmonickou variací.