Holes in point sets

Abstract

In this thesis, we study Helly numbers of discrete sets via their equivalent character- isation by holes. We consider Cartesian products of sets of real numbers, building on the work of Dillon (2021). We generalise his condition on sets with infinite Helly num- bers to distinct sets and use it to find various new examples of such sets in the plane. We provide a new proof of the infinitude of Helly numbers of the Fibonacci set using D'Ocagne's and Cassini's identities. We examine sets avoiding prime numbers, improv- ing known bounds on their Helly numbers. We also consider Helly numbers of point sets in higher dimensions and introduce PATH-Finder, a program for visualising the largest holes in two-dimensional discrete sets. Finally, we propose several open problems and conjectures.

V této práci studujeme Hellyho čísla diskrétních množin za použití jejich ekvivalentní charakterizace pomocí děr. Zaměřujeme se na kartézské součiny množin reálných čísel a navazujeme na práci Dillona (2021). Jeho podmínku pro množiny s nekonečnými Hellyho čísly zobecňujeme na různé množiny a využijeme ji k nalezení několika nových příkladů takových množin v rovině. Dále uvádíme nový důkaz nekonečnosti Hellyho čísel Fibo- nacciho množiny za použití D'Ocagneovy a Cassiniho identity. Zabýváme se také mno- žinami vyhýbajícími se prvočíslům a zlepšujeme známé odhady na jejich Hellyho čísla. Věnujeme se rovněž Hellyho číslům množin bodů ve vyšších dimenzích. Představíme také program PATH-Finder, který slouží k vizualizaci největších děr v dvourozměrných dis- krétních množinách. Na závěr zformulujeme několik otevřených problémů a domněnek.