Experimentální ověření Havlovy hypotézy

Abstract

Ivan Havel in 1984 published a conjecture claiming that an arbitrary tree of maximum degree at most three on 2n vertices is a spanning tree of the n- dimensional hypercube iff its bipartition classes are of the same size. Four decades have passed and the problem is still open; the statement has been verified with computer assistance for n ≤ 4, while for larger dimensions its validity is known only for several special cases. The main goal of the thesis is to verify the conjecture for the dimension n = 5 by computer search. The implementation has been realized in the Haskell programming language using purely functional data structures. To generate all instances, a generator of all non-isomorphic trees with a specified number of vertices has been implemented and adjusted for the needs of the tested conjecture. The main result of the thesis is a machine-verifiable proof of the validity of Havel's conjecture for the investigated dimension. 1

Ivan Havel v roce 1984 publikoval hypotézu, podle níž je strom maximálního stupně nejvýše tři o 2d vrcholech kostrou d-rozměrné hyperkrychle právě tehdy, když třídy jeho bipartitního rozkladu mají stejnou velikost. Po čtyřech de- setiletích je problém stále otevřený; tvrzení se podařilo ověřit pomocí počítače pro n ≤ 4, pro větší dimenze je jeho platnost dokázána pouze ve speciálních případech. Hlavním cílem práce je ověření platnosti hypotézy pro dimenzi d = 5 na počítači. Implementace je realizována v jazyce Haskell s využitím ryze funkcionálních datových struktur. Pro generování všech instancí je im- plementován generátor všech neizomorfních stromů o zadaném počtu vrcholů, upravený pro potřeby testované hypotézy. Hlavním výsledkem práce je strojově ověřitelný důkaz platnosti Havlovy hypotézy pro zkoumanou dimenzi. 1 July 16, 2025 1 Introduction 2