Optimality of function spaces for integral operators

Abstract

Working with function spaces naturally introduces questions of optimality, where the aim is to find the space which produces, in various contexts, the best possible results. This work is concerned with optimality of domain spaces of several integral operators which play a key role in various reduction principles. In each case, we compute the fundamental function of the optimal domain space in relation to the fundamental function of a given target space and find sufficient conditions for equivalence of fundamental functions on the domain side when we assume equivalence of fundamental functions on the target side. The results of this work, combined with an appropriate reduction principle and the principal alternative, may be applied to investigating existence of optimal domain Orlicz spaces.

Při práci s prostory funkcí přirozeně vyvstávají otázky ohledně optimality prostoru funkcí, který v určitém kontextu produkuje nejlepší výsledky. Tato práce se zabývá opti- malitou zdrojových prostorů pro několik integrálních operátorů, které hrají klíčovou roli v různých redukčních principech. U každého z nich vyjádříme fundamentální funkci opti- málního zdrojového prostoru v závislosti na dané fundamentální funkci cílového prostoru a poté nalezneme postačující podmínky pro ekvivalenci fundamentálních funkcí na zdro- jové straně za předpokladu ekvivalence fundamentálních funkcí na cílové straně. Výsledky této práce ve vhodné kombinaci s příslušným redukčním principem a principiální alter- nativou mohou být aplikovány k vyšetření existence optimálních zdrojových Orliczových prostorů pro omezenost některých operátorů harmonické analýzy, Sobolevových vnoření a podobně.