Bessel potential spaces

Abstract

It is well known that Bessel potential spaces L p k (Rn ) of integer order k coincide with the corresponding Sobolev spaces Wk,p (Rn ) when p is finite and larger than 1. This equality may however fail in the limiting cases when p equals 1 or infinity. This thesis discusses these limiting cases, with the main focus being the case p = 1 and n = k = 2. A counterexample in this situation was given by D. Ornstein in 1962. We present a complete proof of Ornstein's result, including all the details missing from the original article.

Je známo, že pokud p je konečné a větší než 1, pak prostory Besselových potenciálů L p k (Rn ) celočíselného řádu k splývají s odpovídajícími Sobolevovými prostory Wk,p (Rn ). Tato rovnost ovšem nemusí platit v limitních případech, kdy se p rovná 1 nebo nekonečno. Tato práce se soustředí na tyto limitní případy, přičemž největší pozornost věnuje případu, kdy p = 1 a n = k = 2. Protipříklad v této situaci pochází od D. Ornsteina. V této práci představíme kompletní Ornsteinův důkaz i se všemi detaily, které v původním článku chyběly.