Nestandardní třídy maximálních operátorů

Abstract

The Hardy-Littlewood maximal operator plays a central role in many branches of mathematical analysis, notably due to its boundedness properties. Among these, the weak-type (1,1) estimate is the one we are particularly interested in in this thesis. The strong maximal operator allows greater geometric flexibility while preserving some of the boundedness properties of the Hardy-Littlewood maximal operator, but it fails to satisfy the weak-type (1,1) estimate. This thesis investigates two families of maximal operators that lie between these two extremes. We identify conditions under which these operators satisfy the weak-type (1,1) estimate, and provide counterexamples when that is not the case.

Hardyho-Littlewoodův maximální operátor je zásadní součástí mnoha odvětví mate- matické analýzy, zejména díky vlastnostem souvisejícím s omezeností. Z nich nás v rámci této diplomové práce nejvíce zajímá odhad slabého typu (1,1). Silný maximální operá- tor nabízí větší geometrickou flexibilitu a zároveň sdílí některé vlastnosti s Hardyho- Littlewoodovým operátorem, ne však odhad slabého typu (1,1). Tato diplomová práce se zabývá dvěma třídami maximálních operátorů, které se nacházejí mezi těmito proti- póly. V textu jsou identifikovány podmínky, za kterých zkoumané třídy operátorů splňují odhad slabého typu (1,1), a předloženy protipříklady v případech, kdy tomu tak není.