Fraktální geometrie pro (zdatné) amatéry

Abstract

This thesis focuses on fractal geometry with the aim of clearly presenting the fundamental concepts and principles of this branch of mathematics. The main to- pics include self-similarity, fractal dimensions (particularly box-counting and Hausdorff dimensions), measure theory (especially with emphasis on Hausdorff and Lebesgue me- asures), L-systems, iterated function systems (IFS), and Time Escape algorithms, par- ticularly those related to Julia and Fatou sets. The thesis is designed to accommodate readers of varying mathematical proficiency. Ba- sic principles are explained in Chapters 1, 4, and 5, while Chapter 2 provides a detailed mathematical analysis of measure theory and dimensions. Practical aspects and algori- thms used for fractal generation are described in Chapter 5, emphasizing general compre- hensibility, allowing the reader to understand and apply the discussed methods without prior knowledge of a specific programming language. An important part of this thesis are the illustrations created mainly in Ipe and using the accompanying fractal generation software developed for this thesis, which is available on GitHub. 1

Tato diplomová práce se zabývá fraktální geometrií s cílem přehledně před- stavit hlavní koncepty a principy této oblasti matematiky. Hlavními tématy jsou soběpo- dobnost, fraktální dimenze (zejména box-counting a Hausdorffova dimenze), teorie míry (s důrazem na Hausdorffovu a Lebesgueovu míru), L-systémy, systémy iterovaných funkcí (IFS) a Time Escape algoritmy, s nimiž souvisí především Juliovy a Fatouovy množiny. Práce je koncipována s ohledem na různou úroveň matematické zdatnosti čtenářů. Zá- kladní principy jsou vysvětleny v kapitolách 1, 4 a 5, zatímco kapitola 2 je věnována detailnímu matematickému rozboru teorie míry a dimenzí. Praktické aspekty a algoritmy používané pro generování fraktálů jsou popsány v kapitole 5. Důraz je kladen přede- vším na obecnou srozumitelnost, která umožňuje pochopit a aplikovat dané postupy bez nutnosti znalosti konkrétního programovacího jazyka. Důležitou součástí práce jsou ilustrace vytvořené převážně v programu Ipe a pomocí softwaru pro generování fraktálů vytvořeného k této práci, který je dostupný na platformě GitHub. 1