Optimizing Initialization in Graph Dynamics: from Ferromagnetism to Opinion Consensus

Abstract

The analytical study of non-equilibrium properties of dynamical systems is notoriously hard. The backtracking dynamical cavity method (BDCM) is a step forward in understanding such systems by characterizing the properties of attractors on large sparse graphs. In particular, it has allowed us to study majority dynamics, answering questions such as "What is the minimal initial number of +1 nodes needed to end up in a +1 global consensus?". In this thesis, we solve the BDCM equations iteratively on full instances of random regular and Erdős-Rényi graphs, which gives us lower bounds on the minimal fraction of initial +1 nodes necessary for consensus. Furthermore, we aim to find these initial conditions. To this end, we introduce a novel algorithm that we coin history passing reinforcement (HPR). It is an adaptation of the belief propagation reinforcement algorithm to the BDCM framework. We find that our algorithm outperforms standard Monte-Carlo based methods, and comes close to the theoretical limits predicted by BDCM. Notably, we find initial conditions where the final consensus is the original opinion of the minority. While we implement HPR in the setting of majority dynamics on random regular graphs, the algorithm generalizes naturally to broader classes of dynamics and network topologies. Finally, we...

Analytické štúdium nerovnovážnych vlastností dynamických systémov je notoricky náročné. Backtracking Dynamical Cavity Metóda (BDCM) predstavuje krok vpred v porozumení takýchto systémov tým, že charakterizuje vlastnosti atraktorov na veľkých riedkych grafoch. Pomocou tejto metódy študujeme správanie väčšinovej dynamiky, a odpovedáme na otázky typu: "Aký je minimálny počiatočný počet vrcholov s hodnotou +1, potrebný na dosiahnutie globálneho +1 konsenzu?". V tejto práci riešime rovnice BDCM iteratívne na plných realizáciách náhodných pravidelných a Erdős-Rényi grafov, čím získavame dolné odhady na minimálny podiel počiatočných +1 vrcholov potrebných na dosiahnutie konsenzu. Následne sa zameriavame na hľadanie takýchto počiatočných konfigurácií. Pre tento účel prichádzame s novým algoritmom, ktorý nazývame History Passing Reinforcement (HPR). Ide o adaptáciu algoritmu Belief Propagation Reinforcement na rámec BDCM. Zisťujeme, že náš algoritmus prekonáva štandardné metódy založené na Monte Carlo prístupe a blíži sa k teoretickým limitám predpovedaných BDCM. Zvlášť pozoruhodné je, že nachádzame počiatočné konfigurácie, v ktorých výsledný konsenzus zodpovedá pôvodnému názoru menšiny. Aj keď HPR implementujeme v kontexte väčšinovej dynamiky na náhodných pravidelných grafoch, algoritmus sa prirodzene rozširuje na...