Northcott property and values of quadratic forms

Abstract

Let K be a totally real algebraic extension of Q of infinite degree, and let R be a subring of OK. This thesis studies universal quadratic forms over R. We focus on the relationship between existence of such forms, and the Northcott number, which describes the structure of a set, based on the measure of its elements. To measure elements in R, we consider two functions - height and house - both based on the size of their conju- gates. Building on the work of Daans, Kala, and Man, who showed that the Northcott property precludes the existence of universal forms, we generalize this result. Specifically, we prove that if the Northcott number exceeds a certain threshold C, then a given fam- ily of quadratic forms cannot be universal. We further investigate different approaches to optimizing the value of C, using methods of linear algebra, lattice theory, Minkowski's second theorem and basis reduction.

Nechť K je totálně reálné algebraické rozšíření Q nekonečného stupně, a buď R po- dokruh OK. Tato práce se zabývá univerzálními kvadraticými formami nad R. Zaměříme se na vztah mezi existencí těchto forem a Northcottovým číslem, které popisuje struk- turu dané množiny na základě velikosti jejích prvků. Pro měření této velikosti uvažujeme dvě funkce - výšku a dům - jež jsou obě založené na velikosti konjugátů. Daans, Kala a Man dokázali ve svém nedávném článku, že Northcottova vlastnost vylučuje existenci univerzálních forem. V této práci zobecňujeme toto tvrzení - konkrétně dokazujeme, že pokud je Northcottovo číslo větší než jistá konstanta C, pak určitá skupina kvadratických forem nemůže být univerzální. Taktéž zkoumáme různé možnosti optimalizace hodnoty C pomocí metod lineární algebry, teorie mřížek, Minkowského druhé věty a redukce bází.