Mathematical models of emergence

Abstract

This thesis explores in detail the so-called Cucker-Smale flocking model - a system of ordinary differential (and difference) equations describing a simple behavior of, for example, a flock of birds. It follows the paper Emergent Behavior in Flocks published in 2007. In this paper, the authors present a set of assumptions on the parameters and initial conditions under which the model converges. The main tools used by the authors are algebraic properties of the matrix Laplacian (and the Fiedler number in particular) and basic tools from calculus. This thesis contains a couple of contributions to their treatment. On the one hand, it carefully clarifies many parts of the text where the authors were terse and even improves several of the ensuing results. On the other hand it diligently checks the proofs and corrects the many inaccuracies. All results stated as lemmata in this thesis are original work of the author (many are based on well-known results, highlighted in the heading of the lemma).

Tato bakalářská práce detailně zkoumá takzvaný Cucker-Smale flocking model - sys- tém diferenciálních (a diferenčních) rovnic, popisující jednoduché chování například hejna ptáků. Práce postupuje podle článku Emergent Behavior in Flocks publikovaném v roce 2007. Jeho autoři předkládají soubor požadavků na parametry a počáteční podmínky, při kterých model konverguje. Jako hlavní nástroje autoři používají algebraické vlastnosti maticového Laplaciánu (a to především Fiedlerovo číslo) a zákládní nástroje matema- tické analýzy. Tato bakalářská práce obsahuje několik příspěvků k jejich zpracování. Na jednu stranu obezřetně objasňuje mnoho částí textu, kde byli autoři struční, a dokonce vylepšuje několik dosažených výsledků. Na druhou stranu pečlivě kontroluje důkazy a opravuje mnoho nepřesností. Veškeré výsledky v této práci nazvané jako lemmata jsou originální prací autora (mnoho jich je založeno na dobře známých výsledcích, což je zvý- razněno v záhlaví lemmat).