Class numbers of orders in real quadratic fields

Abstract

The broad goal of this thesis is to prove Dirichlet's formula for computation of the relative class number and to build up some of the theory necessary for constructing Reinhart's counterexample to the Pell's equation conjecture of Mordell. Specifically, this involves a very careful discussion of the structure of ideal class groups of orders in real quadratic fields (Chapter ??), then using them in Section ?? to prove the Dirichlet formula for the relative class number. Finally, in the rest of Chapter ?? we connect these relative class numbers and units properties, and in Chapter ?? we briefly show some theory that connects units properties and is important for constructing Reinhart's counterexample to the Pell's equation conjecture of Mordell.

Hlavním cílem této práce je dokázat Dirichletův vzorec pro výpočet relativního tří- dového čísla a vybudovat část teorie nezbytné pro konstrukci Reinhartova protipříkladu pro Mordelovou doměnku o Pellově rovnici. Konkrétně se jedná o velmi pečlivou diskusi o strukturě třídových grup ideálů řádů v reálných kvadratických polích (Kapitola ??) a následné jejich použití v části ?? k důkazu Dirichletova vzorce pro výpočet relativ- ního třídového čísla. Nakonec ve zbytku Kapitoly ?? propojíme relativní třídová čísla a jednotky. V Kapitole ?? stručně ukážeme část teorie důležité ke konstrukci Reinhartova protipříkladu a propojující vlastnosti dokázáné předtím.