Axiomy teorie množin v deskriptivní teorii množin

Abstract

This thesis deals with the role of set-theoretic axioms in descriptive set theory, focusing on the consequences of the existence of measurable cardinals. We first define some basic notions from descriptive set theory. In the second chapter, we prove one of the basic results: that open and closed games are determined. We then establish key combinatorial properties of measurable cardinals and use them to prove the determinacy of analytic and coanalytic games. In the final chapter, we study two central regularity properties of subsets of Polish spaces-namely, the Baire property and the perfect set property. We show these properties under various set-theoretic assumptions for analytic, coanalytic, and projective sets.

Táto práca sa zaoberá úlohou množinových axiómov v deskriptívnej teórii množín, konkrétne dôsledkami existencie merateľných kardinálov. Najskôr definujeme základné pojmy z oblasti deskriptívnej teórie množín. V druhej kapitole dokážeme jeden zo základ- ných výsledkov, že otvorené a uzavrené hry sú determinované. Ďalej dokážeme niektoré základné kombinatorické vlastnosti merateľných kardinálov, ktoré následne využijeme pri dôkaze determinovanosti analytických a koanalytických hier. V poslednej kapitole sa venujeme dvom kľúčovým vlastnostiam regularity podmnožín poľských priestorov, a to Baireovej vlastnosti a takzvanej perfect set property. Tieto vlastnosti dokážeme za rôznych množinových predpokladov pre analytické, koanalytické a projektívne množiny.