Divide and concquer - Schwarz methods and their analysis

Abstract

We study Schwarz domain decomposition methods for solving the 1D Poisson equation. The problem is discretized using finite differences, and both classical and optimized variants are implemented. We also derive the analytical formulas for the convergence factor of these methods and validate it for numerical experiments. For specific choices of the Robin parameter, the optimized method converges in one iteration, in contrast to the classical method, which often converges slowly. A key contribution is the comparison between theoretical and observed convergence. We also examine variants based on a global approximation by summing the two local solutions such as the Additive Schwarz. Although this approach enables parallel computation, combining overlapping updates from both subdomains may amplify error instead of reducing it, potentially leading to divergence. All theoretical results are supported by numerical experiments in MATLAB.

Zkoumáme metody Schwarzovy doménové dekompozice pro řešení 1D Poissonovy rovnice. Problém je diskretizován pomocí konečných diferencí a jsou implementovány jak klasické, tak optimalizované varianty. Odvozujeme také analytické vzorce pro konvergenční faktor těchto metod a ověřujeme je numerickými experimenty. Pro konkrétní volby Robinova parametru konverguje optimalizovaná metoda v jedné iteraci, na rozdíl od klasické metody, která často konverguje pomalu. Klíčovým přínosem je srovnání teoretické a pozorované konvergence. Zabýváme se také varianty založené na globální aproximaci sčítáním dvou lokálních řešení, jako je aditivní Schwarzova metoda. Ačkoli tento přístup umožňuje paralelní výpočty, kombinace překrývajících se aktualizací z obou subdomén může chybu zesílit namísto jejího snížení, což může vést k divergenci. Všechny teoretické výsledky jsou podloženy numerickými experimenty v MATLABu.