Metoda Vandermonde with Arnoldi

Abstract

This thesis addresses the problem of fitting data with a polynomial in the sense of the least squares problem. Typically, a suitable polynomial of a given degree is fitted to measured data and the polynomial is considered in the power basis. This approach leads to problems involving so-called Vandermonde ma- trices, which are known for their poor conditioning. An alternative approach, explored in this work, is to obtain the values of the fitted polynomial using the Arnoldi algorithm. It allows constructing orthogonal projections of the mea- sured data vector onto the corresponding Krylov subspace. Thesis presents a numerical comparison of results obtained by using various algorithms based on Vandermonde matrices and the Arnoldi algorithm. 1

Tato práce se zabývá problémem prokládání dat polynomem ve smyslu ne- jmenších čtverců. Standardně se vhodný polynom daného stupně prokládá naměřenými daty a polynom se přitom uvažuje v mocninné bázi. Tento přístup vede na problémy, ve kterých se vyskytují tzv. Vandermondeho matice, které jsou známé pro svou špatnou podmíněnost. Alternativním přístupem, kterému se věnuje tato práce, je získat hodnoty prokládaného polynomu pomocí Arnoldiho algoritmu. Ten umožňuje sestrojit ortogonální projekce vektoru naměřených dat na příslušný Krylovův podprostor. Práce prezentuje numerické srovnání výsledků při použití různých algoritmů využívajících Vandermondeho matice a Arnoldiho algoritmus. 1