Metody rozkladu oblasti pro řešení diferenciálních rovnic

Abstract

Schwarz domain decomposition methods are a tool for solving partial differen- tial equations. Bachelor's thesis specifically focuses on the Schwarz and Jacobi- Schwarz algorithms. The thesis aimed to describe the individual algori- thms, discuss their advantages and disadvantages, and then practically implement one and conduct numerical experiments for a specific example. The theoreti- cal part includes the formulation and proof of convergence of the Schwarz and Jacobi-Schwarz algorithms in one dimension. In the practical part, we apply the Jacobi-Schwarz algorithm to a specific differential equation in one dimension, demonstrating its convergence for different numbers of subdomains and varying sizes of their overlap. The practical section also includes a visualization of the computational process of the Jacobi-Schwarz algorithm. 1

Schwarzovy metody rozkladu oblasti jsou nástrojem řešení parciálních dife- renciálních rovnic. Bakalářská práce se zabývá konkrétně Schwarzovým a Jacobi- Schwarzovým algoritmem. Cílem práce bylo popsat jednotlivé algoritmy, komen- tovat jejich výhody či nevýhody a poté jeden z nich prakticky implementovat a provést pro konkrétní případ numerické experimenty. Teoretická část obsa- huje formulaci a důkaz konvergence Schwarzova a Jacobi-Schwarzova algoritmu v jedné dimenzi. V praktické části aplikujeme Jacobi-Schwarzův algoritmus na konkrétní diferenciální rovnici v jedné dimenzi, na kterém ukazujeme jeho kon- vergenci pro různé počty podoblastí a různé velikosti jejich překryvu. Praktická část také obsahuje názorný průběh výpočtu Jacobi-Schwarzova algoritmu pro tento příklad. 1