Projektivní formulace eukleidovských pojmů

Abstract

This work aims to characterize at first glance purely Euclidean concepts using pro- jective invariants. It is intended for readers who are familiar with the very basics of projective and analytic geometry in the plane (homogeneous coordinates, duality, matrix representation of conic sections). Geometric properties and concepts, which in the Eu- clidean plane are usually formulated using distance or angle sizes, are formulated in the language of projective geometry, most often using the cross-ratio. The first chapter is focused on reminding the basic concepts of projective geometry, in particular, these are the concepts: homogeneous coordinates, real projective plane, cross-ratio, conic sections, tangent and polar with respect to a conic section. The basic computational apparatus is also derived here, which is used extensively throughout the work. Each of the following chapters already discusses one of the concepts of Euclidean plane geometry, namely, these are: center of a circle, deviation of lines, perpendicularity, mirror image, angle bisectors and foci of regular conics.

Tato práce si klade za cíl charakterizaci na první pohled čistě eukleidovských pojmů pomocí projektivních invariantů. Je určena čtenářům, kteří jsou obeznámeni s úplnými zá- klady projektivní a analytické geometrie v rovině (homogenní souřadnice, dualita, matice kuželosečky). Geometrické vlastnosti a pojmy, které v eukleidovské rovině obvykle formu- lujeme pomocí vzdálenosti či velikosti úhlů, v této práci formulujeme jazykem projektivní geometrie, nejčastěji při tom využíváme dvojpoměr. První kapitola je zaměřena na při- pomenutí základních pojmů projektivní geometrie, zejména jsou to pojmy: homogenní souřadnice, reálná projektivní rovina, dvojpoměr, kuželosečky, tečna a polára vzhledem ke kuželosečce. Také je zde odvozen základní početní aparát, který je v průběhu práce značně využíván. Každá z následujících kapitol již pojednává o některém z pojmů ge- ometrie eukleidovské roviny, jmenovitě to jsou: střed kružnice, odchylka různoběžných přímek, kolmost, osová souměrnost, osa úhlu a ohniska regulárních kuželoseček.