Regularita nehladkých trajektorií

Abstract

In this thesis, it is shown that rough path constructed upon trajectories of d-dimensional Wiener process in the Itô sense lies in exponential Besov-Orlicz space of rough paths B 1/2 Φ2,∞([0, T]; Rd ), where Φ2(x) = exp(x2 ) − 1, x ∈ [0, ∞). Main consequence of this result is exponential Besov-Orlicz regularity of solutions of rough differential equations with respective rough path. Relevant function spaces together with their properties are stated and basics of theory of rough paths in exponential Besov-Orlicz context are given. Certain properties of iterated integrals of process W, used in the main proof, are derived. Basics of rough integration are given to ilustrate the main consequence.

V této práci je ukázáno, že rough path vytvořená v Itôově smyslu nad trajektori- emi d-dimenzionálního Wienerova procesu W leží v exponenciálním Besovově-Orliczově prostoru rough paths B 1/2 Φ2,∞([0, T]; Rd ), kde Φ2(x) = exp(x2 ) − 1, x ∈ [0, ∞). Hlav- ním důsledkem tohoto výsledku je exponenciální besovovská-orliczovská regularita řešení rough diferenciálních rovnic s touto rough path. Příslušné prostory funkcí společně s jejich vlastnostmi jsou uvedeny a jsou zmíněny základy teorie rough paths v exponenciálním besovovském-orliczovském kontextu. Dále jsou odvozeny některé vlastnosti iterovaných integrálů procesu W, které jsou poté využity v hlavním důkazu. Následně jsou zmíněny základy rough integrace k ilustraci hlavního důsledku.