Náhodné konvexní množiny a jejich rozdělení

Abstract

The topic of this thesis is random convex sets. The work focuses on the characterization of distributions of random sets, with particular emphasis on the distributions of random convex sets. The first chapter introduces the con- cept of random closed sets in a formal manner, and all relevant definitions are explained in detail. The thesis then focuses on Choquet's theorem, which char- acterizes the distribution of random closed sets via the capacity functional. An analogue of Choquet's theorem is subsequently formulated for three other func- tionals generated by random closed sets. The second part of the thesis deals with random convex sets, with a particular focus on the characterization of distributions of random polytopes. The text culminates in a theorem that char- acterizes the distribution of random polytopes generated as the convex hull of a sequence of independent and identically distributed random vectors via the containment functional restricted to simplices.

Tématem této diplomové práce jsou náhodné konvexní množiny. Práce se celkově zabývá charakterizací rozdělení náhodných množin a speciálně charak- terizací rozdělení náhodných konvexních množin. V první kapitole je formálně představen pojem náhodných uzavřených množin a všechny definice jsou de- tailně vysvětleny. Poté se práce zaměřuje na Choquetovu větu, která charakter- izuje rozdělení náhodných uzavřených množin pomocí kapacitního funkcionálu a následně je formulována obdoba Choquetovy věty pro další tři funkcionály generované náhodnými uzavřenými množinami. Druhá část práce se zabývá náhodnými konvexními množinami s důrazem na charakterizaci rozdělení náhodných polyedrů. Celý text se pak završí větou charakterizující rozdělení náhodných polyedrů generovaných posloupností nezávislých a stejně rozdělených náhodných vektorů pomocí zahrnovacího funkcionálu na simplexech.