Gaussian Measures on Hilbert Spaces

Abstract

In this thesis, the equivalence and singularity of Gaussian measures is studied. Specifi- cally, the measures induced by the Ornstein-Uhlenbeck process driven either by a Wiener process or by a fractional Brownian motion on an infinite-dimensional Hilbert space are considered. After the necessary theoretical background is developed, a condition for the equivalence of two Gaussian measures corresponding to the Ornstein-Uhlenbeck process with different initial conditions is derived. A condition is also derived for when the Gaus- sian measure induced by a fractional Ornstein-Uhlenbeck process with H ∈ (1 2 , 1) at a fixed time is equivalent to its limiting measure. 1

V této práci je zkoumána ekvivalence a vzájemná singularita Gaussových měr. Po- zornost je věnována zejména měrám indukovaným Ornstein-Uhlenbeckovým procesem řízeným Wienerovým procesem nebo frakcionálním Brownovým pohybem na nekonečně rozměrném Hilbertově prostoru. Po zavedení potřebného matematického aparátu je odvozena podmínka, za níž jsou dvě takové míry, odpovídající procesům s různými počátečními podmínkami, ekvivalentní. Dále je odvozena podmínka pro ekvivalenci Gaussovy míry indukované frakcionálním Ornstein-Uhlenbeckovým procesem s Hurstovým parametrem H ∈ (︂ 1 2 , 1 )︂ v pevném čase a její limitní míry. 1