On Kasteleyn's bunkbed conjecture in some classes of graphs

Abstract

The bunkbed conjecture is a problem in probabilistic graph theory concerning con- nectivity probabilities in bunkbed graphs. From a graph G = (V, E), we construct the bunkbed graph by taking two copies of G and connecting some vertices. Informally, the conjecture states that the probability that two vertices are connected in the same copy is greater than or equal to the probability that two vertices are connected in different copies. This thesis investigates the conjecture for the theta graph, consisting of two ver- tices joined by multiple internally disjoint paths. We prove that the conjecture holds in this case using the flip function. This method could be useful in determining whether the conjecture holds for other classes of graphs.

Takzvaná dvoupatrová domněnka je problém v pravděpodobnostní teorii grafů zabýva- jící se pravděpodobností souvislostí v dvoupatrovém grafu. Z grafu G = (V, E) vytvoříme dvoupatrový graf tak, že vezmeme dvě kopie grafu G a přidáme hrany mezi kopie stejného vrcholu. Zjednodušeně se dvoupatrová domněnka ptá, zda pravděpodobnost toho, že jsou dva vrcholy ve stejném patře ve stejné komponentě je větší nebo stejná, jako pravděpo- dobnost toho, že jsou dva vrcholy v různých patrech ve stejné komponentě. Tato práce řeší dvoupatrovou domněnku pro Theta graf. Ten je složený ze dvou vrcholů spojených vnitřně disjunktními cestami. Ukážeme, že domněnka pro tento graf platí pomocí flip funkcí. Tato metoda může být užitečná k řešení domněnky i pro jiné třídy grafů.