Azumova nerovnost

Abstract

In this thesis we study Azuma's inequality, which is used to estimate the probability of a martingale straying from its initial value. We begin by introducing the concept of a martingale, accompanied by several illustrative examples. This is followed by a rigorous proof of Azuma's inequality, including its extension to predictable sequences and a com- parison with other well-known concentration inequalities. The inequality is then applied to the problem of coloring random graphs, specifically to estimate the probability of con- centration of the chromatic number, and three approaches to constructing a martingale suitable for this estimation are presented.

Tato práce se zabývá Azumovou nerovností, která udává horní mez pro pravděpodob- nost, že se martingal výrazně odchýlí od své počáteční hodnoty. Nejprve je zaveden pojem martingalu doplněný několika ilustrativními příklady. Následuje důkaz Azumovy nerov- nosti, její zobecnění na predikovatelné posloupnosti a srovnání s dalšími koncentračními nerovnostmi. V závěrečné části je tato nerovnost aplikována na problém barvení náhod- ných grafů, konkrétně k odhadu pravděpodobnosti koncentrace chromatického čísla, a jsou uvedeny tři přístupy ke konstrukci martingalu vhodného pro tento odhad.