Student-teacher computations and search problems

Abstract

Dosvědčovací věty ve stylu Herbrandovy věty jsou typicky formulovány pro logicky platné sentence nebo pro sentence dokazatelné z nějaké univerzální teorie. Zkoumáme, co se stane, pokud budeme místo logicky platných sentencí uvažovat sentance, které platí ve všech konečných strukturách, ale neplatí v nějaké nekonečné struktuře. Ukážeme, že v tomto případě nemůžeme dosvědčit existenční kvatifikátoty v existenčích, EA a EAE- sentencích ve všech konečných strukturách pomocí konečného počtu termů a ukážeme dolní mez pro počet a velikost termů, které jsou potřeba k dosvědčení daných existenčních kvantifikátorů ve všech konečných strukturách nějaké dané velikosti. Následně ukážeme, že tento argument nemůže být generalizován pro sentence, které platí ve všech koneč- ných modelech nějaké univerzální teorie, ale neplatí v nějakém nekonečném modelu, a navrhneme možné podmínky pro univerzální teorie, které tento problém řeší.

Herbrand-style witnessing theorems are typically stated for logically valid sentences or for sentences provable from some universal theory. We examine what happens when we change the setting to sentences which hold in all finite structures but fail in some infinite one. We show that in this case, the existential quantifiers in existential, EA and EAE-sentences cannot be witnessed by a finite number of terms in all finite structures and show a lower bound on the number and the size of terms needed to witness said existential quantifiers in all structures of some fixed finite size. We then show that this argument cannot be generalized to sentences which hold in all finite models of some universal theory but fail in some infinite model and provide some additional conditions on the universal theory to resolve this problem.