Properties of integral operators on spaces endowed with rearrangement-invariant quasinorms

Abstract

V této práci studujeme chování integrálních operátorů s jádrem působících na funkcích jedné reálné proměnné v Banachových prostorech funkcí s kvazinormami invariantními vůči nerostoucímu přerovnání. Naším cílem je najít dobré kandidáty na optimální defi- niční obor a optimální obor hodnot těchto integrálních operátorů. Abychom toho dosáhli, nalezneme nutné a postačující podmínky pro existenci bodového odhadu jistého tvaru je- jich nerostoucího přerovnání. Také vybudujeme teorii optimálních definičních oborů a optimálních oborů hodnot pro speciální typ integrálních operátorů s proměnnou horní mezí. Tyto výsledky použijeme k nalezení žádaných kandidátů. Dále ukážeme, že tyto prostory jsou skutečně optimální pro určitou třídu operátorů.

In this thesis, we study the behavior of integral kernel operators acting on functions of a single real variable in Banach function spaces with rearrangement-invariant quasinorms. Our goal is to find good candidates for optimal domain and optimal range spaces for these integral operators. To achieve this, we provide necessary and sufficient conditions for the existence of a pointwise estimate, which is of a certain form, for their non-increasing rearrangement. We also build a theory of optimal domain and optimal range spaces for a special type of integral operator with a variable upper bound. We use these results to find the desired candidates. Furthermore, we show that these spaces are, in fact, optimal for a particular class of operators.