Implicit symplectic integrators

Abstract

This thesis studies symplectic integrators, a class of numerical solvers for ordinary differential equations which are suitable for solving problems from mechanics. The most important topics of numerical integration are presented, together with several formula- tions of classical mechanics. The most relevant is the Hamiltonian formulation and its connection to symplectic geometry. Afterwards, symplectic integrators are introduced together with several schemes and their important properties. Then, we theoretically investigate the perturbation of the symplectic structure matrix when implicit symplectic schemes are numerically solved; the results are somewhat novel. In particular, the Sym- plectic Euler scheme together with fixed point iteration method is studied. The error of symplecticity is estimated in case of one degree-of-freedom systems. The emergence of deviation terms in the matrix of symplectic structure is shown for larger systems. Fi- nally, two problems from mechanics and electromagnetism are numerically solved using symplectic integrators. The second problem is to find magnetic field lines, which can be described using a nonstandard Hamiltonian.

Práce se zabývá symplektickými integrátory, které tvoří třídu numerických řešičů obyčejných diferenciálních rovnic vhodných pro řešení problémů mechaniky. Práce za- číná shrnutím nejdůležitějších pojmů z oboru numerické integrace a přístupům k popisu klasické mechaniky. Významná je hamiltonovská formulace a její provázání se symplek- tickou geometrií. Práce zavádí symplektické integrátory, představuje některá schémata a jejich důležité vlastnosti. Následují vlastní teoretické výsledky studující poruchu matice symplektické struktury vlivem numerického řešení implicitních symplektických schémat. Konkrétně je uvažováno symplektické Eulerovo schéma v kombinaci s metodou pevného bodu. Chyba této metody je určena pro případ systému s jedním stupněm volnosti, u více stupňů volnosti je popsán vznik deviačních členů v matici symplektické struktury. Nakonec jsou pomocí symplektických integrátorů řešeny dvě úlohy na pomezí mechaniky a elektromagnetismu, přičemž druhá z nich se věnuje problému hledání magnetických indukčních čar, který lze popsat netradičním hamiltoniánem.