Vývoj a vlastnosti Newtonovy metody

Abstract

The thesis addresses the problem of finding the root of a function using Newton's method. We describe Newton's method and derive it from the Taylor series expansion. We also state several theorems on its convergence. The main part of the thesis examines the historical development of Newton's method. Using various approaches, we derive Heron's algorithm and show that it is a special case of Newton's method for a suitably chosen quadratic function. We also prove the convergence theorem for Heron's algorithm. Next, we consider al-Kashi's method for approximating √ N, where N ∈ N. Drawing on original sources, we present and analyze the early methods of Newton, Raphson, and Simpson. Finally, we apply Newton's method to an equation arising from the Riemann problem and generalize it to vector functions. 1

Práce se věnuje úloze hledání kořene funkce pomocí Newtonovy metody. Newtonovu metodu popíšeme a odvodíme z Taylorova rozvoje. Také vyslovíme některé věty o její konvergenci. Hlavní částí práce je historický vývoj Newtonovy metody. Několika způsoby odvodíme Hérónův algoritmus a ukážeme, že jde o speciální případ Newtonovy metody pro vhodně zvolenou kvadratickou funkci. V rámci práce také dokážeme větu o konvergenci Hérónova algoritmu. Dále se věnujeme al-Kášího metodě aproximace √ N, kde N ∈ N. S pomocí původních textů uvedeme a rozebereme také původní Newtonovu, Raphsonovu a Simpsonovu metodu. Nakonec aplikujeme Newtonovu metodu na rovnici vycházející z Riemannova problému a zobecníme ji na vektorové funkce. 1