Párování v bipartitních grafech a LU faktorizace

Abstract

This thesis focuses on the use of algorithms for finding matchings in bipartite graphs in the context of LU decomposition of sparse matrices. The theoretical part describes the LU decomposition and related concepts such as sparsity, fill-in, backward stability, and pivoting. Furthermore, it explores the connection between the graph theory and matrix structure. The thesis also introduces the minimum degree algorithm and techniques for finding weighted and unweighted perfect matchings in bipartite graphs. The aim of the practical part is to compare the properties of matrices and their LU decompositions after applying permutations obtained through both weighted and unweighted matchings. A series of experiments is conducted in the MATLAB environment.

Práce se zabývá použitím algoritmů pro hledání párování v bipartitních grafech při LU rozkladu řídkých matic. V teoretické části je popsána problematika LU rozkladu včetně souvisejících pojmů jako jsou řídkost, zaplňování, zpětná stabilita a pivotace. Dále je věnován prostor propojení pojmů z teorie grafů se strukturou matic. V neposlední řadě je uveden algoritmus minimálního stupně a techniky hledání váženého i neváženého perfektního párování v bipartitních grafech. Cílem praktické části bylo porovnat vlastnosti matic a jejich LU rozkladů po aplikaci permutací získaných právě pomocí váženého a neváženého párování. Sada experimentů je provedena v prostředí MATLAB.