Kvadratura pro bázové funkce metody konečných prvků

Abstract

This bachelor thesis focuses on numerical quadrature in the context of the finite ele- ment method (FEM). The aim is to present the theoretical foundations of quadrature rules, their application in one and two dimensions, and their role in numerical integration within FEM. The introductory chapters summarize the necessary mathematical tools, such as Legendre polynomials and classical quadrature rules, including Newton-Cotes and Gaussian quadrature. The core part of the thesis deals with numerical integration over triangles (two-dimensional simplices) using product rule, Silvester's, and Gaussian rules. Numerical experiments compare the accuracy of the selected methods, validate the- oretical results, and examine the influence of quadrature node distribution on the resulting precision. The thesis contributes to a deeper understanding of numerical integration in FEM and can serve as a foundation for further study. 1

Tato bakalářská práce se zabývá numerickou kvadraturou v kontextu metody koneč- ných prvků (MKP). Cílem je představit teoretické základy kvadraturních pravidel, jejich aplikaci v jedné a dvou dimenzích a použití v rámci MKP. Úvodní část práce shrnuje potřebné matematické nástroje, jako jsou Legenderovy polynomy a klasická kvadraturní pravidla, včetně Newton-Cotesova a Gaussova pravidla. Stěžejní část se věnuje numerické integraci na trojúhelnících (dvourozměrných simplexech), konkrétně pomocí součinového, Silvesterova a Gaussova pravidla. Numerické experimenty porovnávají přesnost jednotli- vých metod, potvrzují teoretické výsledky a zkoumají vliv rozmístění kvadraturních uzlů na výslednou přesnost. Práce přispívá k hlubšímu porozumění problematiky numerické integrace v MKP a může sloužit jako základ pro další studium i praktické aplikace. 1