Různé způsoby šíření pro Moranův proces na přímce

Abstract

Moranův proces modeluje evoluci mutace v populaci jedinců. Jedinci se náhodně množí a nahrazují své sousedy. Struktura populace je definovaná váženým orientovaným grafem. Některé varianty Moranova procesu umožňují mutantům pracovat s jiným grafem než rezidentům. V této práci se věnujeme variantě Moranova procesu, ve které mutanti a rezidenti pracují s jiným grafem, a kde jedinci leží na nekonečné přímce. Definujeme a studejeme novou kvantitu, a to rychlost šíření mutantů. Porovnáváme různé struktury, které umožňují mutantům šířit se na sousedy a skákat s určitou pravděpodobností. V práci ukazujeme způsoby, jak tento proces simulovat a jak počítat dolní a horní odhady rychlosti šíření mutantů. Dokazujeme, že struktura umožňující největší rychlost šíření mutantů dovoluje mutantům zároveň se šířit na sousedy a zároveň skákat, oboje s nenulovou pravděpodobností.

Moran process models the evolution of a mutation in a population of individuals. All individuals spread randomly and replace their neighbors. The spatial structure of the population is given by a weighted directed graph. Some variations of the Moran process allow the mutant and resident individuals to act on different graphs. In this thesis, we work with a variation of the Moran in which mutants and residents act on different graphs and the vertices are arranged on an infinite line. We define and measure a new quantity called mutant spread speed. We compare different structures which allow spreading to immediate neighbors and jumping further with some probabilities. We provide a way to simulate this process and to compute lower and upper bounds of the mutant spread speed. We show that the structure that maximizes mutant spread speed combines both spreading to neighbors and jumping with non-zero probabilities.