Overlap and covering polynomials

Abstract

This thesis studies enumerator polynomials, focusing on the overlap and covering polynomials over general linear code or linear binary self-dual code. These polynomials generalize the classical weight enumerator and are analysed in terms of their basic prop- erties. Subsequently, a recursive approach is introduced for the case of self-dual codes. Building on these results, the thesis examines the projection of code C onto the support of a fixed vector u ∈ F2n 2 , and establishes a duality between the image of the projected code C ∗ u and the orthogonal complement of the image of the intersection C ∩ (F2n 2 ∗ u).

Tato práce se zaměřuje na studium enumeračních polynomů, přičemž hlavní pozor- nost je věnována překrývajícím a pokrývajícím polynomům pro obecné lineární kódy a binární samoduální kódy. Tyto polynomy zobecňují klasický váhový enumerátor a jsou analyzovány z hlediska svých základních vlastností. Následně je pro pokrývající poly- nomy samoduálních kódů představen rekurzivní přístup. Na základě těchto výsledků se práce zabývá dále projekcí kódu C na nosič daného vektoru u ∈ F2n 2 a stanovuje dualitu mezi obrazem projektovaného kódu C ∗ u a ortogonálním komplementem obrazu průniku C ∩ (F2n 2 ∗ u).