Souvislé řezy

Abstract

Cut problems in graph theory are extensively studied and well understood. However, cuts that partition graphs into components that are connected in a prescribed way, have received comparatively less attention. In this thesis, we formally define several connected cut problems, focusing on Minimum k-connected cut and Minimum k-connected cut with source problems. Given a graph G = (V, E), and an interger k, the goal is to partition a vertex set V into two subsets, S and V \S, such that the induced subgraph G[S] is connected, the size of S is exactly k, and the number of edges between S and V \ S is minimized. In the second problem, we are in addition given a source vertex s ∈ V that has to be included in S. Our first result is a proof that both Minimum k-connected cut and Minimum k-connected cut with source problems are NP-complete. Additionally, we propose a bicriteria approximation algorithm for the Minimum k-connected cut with source problem. As a result, we also obtain a bicriteria approximation for the general Minimum k-connected cut problem.

Pojem řezu v teorii grafů je intenzivně studovaný. Avšak řezy, které rozdělují graf na komponenty souvislé předem definovaným způsobem, zatím mnoho pozornosti nezískaly. V této práci formálně zavedeme několik problémů tzv. souvislých řezů. Jde především o problémy Minimálního k-souvislého řezu a Minimálního k-souvislého řezu se zdrojem. V prvním případě je cílem rozdělit množinu vrcholů V na dvě podmnožiny S a V \S tak, že indukovaný podgraf G[S] je souvislý, velikost množiny S je k, a počet hran mezi S a V \ S je minimální. Ve druhém případě je dán zvláštní zdrojový vrchol, který musí být zahrnut do množiny S. Naším prvním výsledkem je důkaz, že oba problémy Minimálního k-souvislého řezu a Minimálního k-souvislého řezu se zdro- jem jsou NP-úplné. Dále jsme vytvořili bikriteriální aproximační algoritmus pro problém Minimálního k-souvislého řezu se zdrojem. V důsledku toho také získáváme bi- kriteriální aproximaci pro obecný problém Minimálního k-souvislého řezu.