Metoda sdružených gradientů pro diferenciální operátory

Abstract

Tato práce se věnuje metodě sdružených gradientů (CG), která lze využít pro řešení diferenciální rovnice bez použití diskretizace. Čerpá ze dvou různých zdrojů, které tento koncept představují z odlišných perspektiv. První zdroj detailně popisuje metodu sdru- žených gradientů v Hilbertových prostorech, která může být použita i pro řešení diferen- ciálních rovnic. Druhý zdroj buduje teorii metody sdružených gradientů na konkrétní di- ferenciální rovnici prostřednictvím zobecnění Krylovových prostorů. Korespondence mezi těmito přístupy není zcela zřejmá, a proto se práce zaměřuje jak na teoretické, tak na numerické porovnání těchto přístupů. Teorie je demonstrována na obyčejné lineární dife- renciální rovnici druhého řádu s Dirichletovými okrajovými podmínkami. Praktická část je podpořena numerickými experimenty realizovanými v prostředí MATLAB s využitím toolboxu Chebfun.

This thesis focuses on the Conjugate Gradient (CG) method, which can be used to solve differential equation without using discretization. It is based on two different sources that present this concept from different perspectives. The first source provides a detailed description of the Conjugate Gradient method in Hilbert spaces, which can also be used to solve differential equations. The second source develops the theory of the Conjugate Gradient method for a specific differential equation through the generalization of Krylov spaces. The correspondence between these approaches is not completely obvious, and therefore, the thesis focuses on both the theoretical and numerical comparison of these approaches. The theory is demonstrated on an ordinary linear differential equation of the second order with Dirichlet boundary conditions. The practical part is supported by numerical experiments performed in the MATLAB environment using the Chebfun toolbox.