Euclidean Gallai-Ramsey configurations

Abstract

We study colorings of Euclidean spaces. Specifically we study when there is a monochromatic or rainbow copy of F in a colored Euclidean space, for configura- tion F. We found the first nontrivial configuration T for which holds the following, for every coloring (the number of colors is arbitrary) of the Euclidean plane there exists a monochromatic or rainbow copy of T. In fact, we have found a class of such configurations, the class consists of a vertex set of the triangle with two unit side lengths and a 120 degree angle and of 'special' right angled triangles. This suggests there may hold a stronger version of the famous conjecture stating, that for every 2-coloring of the Euclidean plane there exists a monochromatic copy of T, where T is the vertex set of a non-equilateral triangle.

Studujeme barvení euklidovských prostorů. Konkrétně studujeme, kdy v barevném euklidovském prostoru existuje monochromatická nebo duhová kopie F pro kon- figuraci F. Nalezli jsme první netriviální konfiguraci T, pro kterou platí následující, pro každé barvení (počet barev je libovolný) euklidovské roviny existuje monochro- matická nebo duhová kopie T. Ve skutečnosti jsme dokonce našli třídu takových konfigurací, třídu tvoří množina vrcholů trojúhelníku se dvěma jednotkovými délkami stran a úhlem 120 stupňů a 'speciální' pravoúhlé trojúhelníky. To naznačuje, že by mohla platit silnější verze slavné hypotézy, která tvrdí, že pro každé 2- barvení euklidovské roviny existuje monochromatická kopie T, kde T je množina vrcholů nerovnostranného trojúhelníku.