Acyclic Bounded-Below Cochain-Complexes of Projectives

Abstract

Elementárním faktem homologické algebry, který se využívá ke konstrukci derivovaných funktorů, je, že každý acyklický shora omezený řetězový kom- plex projektivních modulů je kontraktibilní. Avšak stanovení stejného výsledku pro zdola omezené řetězové komplexy projektivních modulů je podstatně obtížnější problém, který nebyl příliš řešen až do nedávných příspěvků Tsu- tomu Nakamury, Pedera Thompsona, Christiana Haesemeyera, Lirana Shaula, Leonida Positselského, Amnona Neemana a dalších. Tato diplomová práce je naší snahnou přispět k jejich práci několika způsoby, rozdělenou do čtyř kapitol. První kapitola je především motivační a dále poskytuje základ, na kterém je postaven zbytek naší práce. Druhá kapitola dokazuje duální výsledek k výsledku Pedera Thompsona a Christiana Haesemeyera, a sice že zdola omezené acyklické řetězové komplexy projektivních modulů jsou vždy kontraktibilní nad komutativními, noeterovskými okruhy. Třetí kapi- tola ukazuje totéž bez předpokladu noetherovskosti pro ty řetězové komplexy, jejichž stávající moduly jsou konečně generované; náš přístup odráží přístup Christiana Haesemeyera s cílem zpřístupnit jeho stručný důkaz tím, že do- plníme vynechané detaily v jeho argumentaci a rozvineme nezbytnou, i když poněkud obskurní, teorii "true grade". Ve čtvrté kapitole dokazujeme, že- nad...

It is an elementary fact of Homological Algebra, used in the construc- tion of derived functors, that every acyclic bounded-above cochain-complex of projective modules over any ring is contractible. However, establishing the same result for bounded-below cochain-complexes of projective modules is a significantly more difficult problem-one that remained largely unad- dressed until the recent contributions of Tsutomu Nakamura, Peder Thomp- son, Christian Haesemeyer, Liran Shaul, Leonid Positselski, and Amnon Nee- man, amongst others. The present thesis is our attempt to contribute to their work in several ways, structured across four chapters, which we shall now lay out. The first chapter is mainly motivational and provides a foun- dation for the rest of our work. The second chapter proves a dual result to Peder Thompson and Christian Haesemeyer's, namely that acyclic bounded- below cochain-complexes of projective modules always contract over com- mutative, Nœtherian rings. The third chapter shows the same for those cochain-complexes whose constituent modules, taken over a general ring, are finitely generated; our approach mirrors that of Christian Haesemeyer, with the goal of making his concise proof accessible by filling omissions in his argument and developing the necessary, albeit somewhat obscure, the-...