The lifting problem for quadratic forms

Abstract

V této práci se zaobíráme problémem universálních kvadratických forem pro totálně reálná číselná tělesa. Rozebíráme důkaz Siegelovy věty o totálně reálných číselných tělesech, jejichž totálně pozitivní celistvé prvky se dají vyjádřit jako součet čtverců. Řešíme representaci prvků číselných těles pomocí tenzorového součtu číselné mříže definované na podtělese. Specificky hledáme podmínky, které musí větší z těles splňovat pro pevně zvolené číselné podtěleso, mříž a kvadratickou formu. Dále hledáme omezení diskriminantu a domu, neboli max- ima absolutní hodnoty konjugovaných čísel, generátorů číselných těles pro které je m násobek všech totálně pozitivních celistvých prvků roven součtu čtverců celistvých prvků. Tuto vlastnost dáme do vztahu s číselnými tělesy s uni- verzálními pozitivně definitními formami s celočíselnými koeficienty a najdeme omezení pro tato číselná tělesa. Spočítáme konkrétní omezení pro generátory a diskriminant číselných těles stupně v rozmezí 6 až 11. 1

We discus the problem of universal quadratic forms of totally real number fields. We elaborate the Siegel's prove on totally real number fields for which all totally positive algebraic integers are sums of squares. We discuss representation of elements of a number field over a tensor product of a lattice over its subfield. Specifically we find conditions that bounds the number of number fields for a fixed subfield and a quadratic lattice. We find bounds of the house of generators and the discriminant of number fields with m multiples of all totally positive algebraic integers in sum of squares. We connect this property with number fields with universal positive definite integer form and find bounds on those number fields. We compute the concrete bounds of house and discriminant for number fields of degrees between 6 and 11. 1