Theory and numerical solution of traffic models

Abstract

In this thesis, we describe a numerical technique for the solution of macroscopic traf- fic flow models on networks. On individual roads, we consider the standard Lighthill- Whitham-Richards model which is discretized using the discontinuous Galerkin method. In order to solve traffic flows on networks, we construct suitable numerical fluxes at junc- tions based on preferences of the drivers. The focus of the thesis is the construction of three new numerical fluxes at junctions, which are based on the Godunov numerical flux, and one of them takes into account the right of way at junctions. These fluxes are easily constructible for any number of incoming and outgoing roads. We analyze basic proper- ties of the constructed numerical fluxes and the resulting scheme, namely conservativity and the traffic distribution property. Next, we analyze the stability properties of the resulting numerical scheme in the L2 norm. The resulting estimates allow for a growth of the square of the L2 norm of the numerical solution that is linear in time. Moreover, we show that under certain assumptions on the parameters of the junction the discrete solution satisfies an entropy inequality in the sense that the square entropy is monotoni- cally non-increasing in time. Finally, we show that the explicit Euler or SSP DG scheme with...

V této práci popisujeme numerickou metodu pro řešení makroskopických modelů dopravy na sítích. Na jednotlivých silnicích uvažujeme standardní Lighthill-Whitham- Richardsův model, který je diskretizován pomocí nespojité Galerkinovy metody (DG). Pro řešení dopravních toků na silniční síti konstruujeme na křižovatkách vhodné nume- rické toky založené na preferencích řidičů. Hlavním přínosem práce je konstrukce tří no- vých numerických toků na křižovatkách, které jsou založeny na Godunovově numerickém toku a jeden z nich zohledňuje přednosti jízdy na křižovatkách. Tyto toky jsou snadno konstruovatelné pro libovolný počet příchozích a odchozích komunikací na křižovatce. V práci zkoumáme základní vlastnosti zkonstruovaných numerických toků a výsledného schématu, konkrétně zákon zachování a distribuci dopravy. Dále analyzujeme stabilitu výsledného numerického schématu v L2 normě. Výsledné odhady umožňují v čase line- ární růst druhé mocniny L2 normy řešení. Dále ukážeme, že za určitých předpokladů splňuje diskrétní řešení entropickou nerovnost v tom smyslu, že druhá mocnina L2 normy je nerostoucí v čase. Nakonec ukážeme, že explicitní Eulerovo schéma nebo SSP DG s limitery splňuje princip maxima na libovolných dopravních sítích.