Fine properties of functions and operators

Abstract

Dokážeme ekvivalenci omezenosti jistých supremálních operátorů a optimality pros- torů v Sobolevově vnoření. Tohoto docílíme tak, že využijeme známých vztahů mezi Sobolevovými vnořeními a izoperimetrickými nerovnostmi. Nalezneme explicitní vzorce pro normu optimálního výchozího prostoru a pro normu optimálního cílového prostoru v Sobolevově vnoření. Nakonec aplikujeme naše obecné teoretické výsledky na Sobolevova vnoření vyšších řádů pro funkce definované na regulárních oblastech a na oblastech náleže- jících do Maz'yovy třídy. Výsledky jsou částečně použitelné například v kontextu prostorů se součinovou pravděpodobnostní mírou. 1

We establish the equivalence between the boundedness of certain supremum operators and optimal spaces in Sobolev embeddings. We do this by exploiting known relations between higher-order Sobolev embeddings and isoperimetric inequalities. We provide an explicit way to compute both the optimal domain norm and the optimal target norm in a Sobolev embedding. Finally, we apply our results to higher-order Sobolev embeddings on John domains and on domains from the Maz'ya classes. Furthermore, our results are partially applicable to embeddings involving product probability spaces. 1