Dělitelnost v okruzích

Abstract

Tato práce se zaměřuje na definování teorie dělitelnosti pro komutativní okruhy a na navržení hierarchie oborů dělitelnosti s vlastnostmi, které by měly platit obdobně jako při dělení celých čísel. Pomocí konceptu ideálů zobecňujeme Čínskou zbytkovou větu, čímž dokládáme existenci řešení pro komutativní okruhy. Následně demonstrujeme, že oslabení obecnosti teorie může být přínosné, neboť pak disponujeme euklidovským algoritmem pro hledání těchto řešení. Tato práce je určena všem zájemcům o matematiku, kteří se chtějí hlouběji seznámit s teorií dělitelnosti, neboť systematicky budujeme teorii od základů a srovnáváme ji s tradičním dělením celých čísel. 1

This thesis focuses on defining the theory of divisibility for commutative rings and proposing a hierarchy of divisibility domains with properties that should hold similarly to the division of whole numbers. Using the concept of ideals, we generalize the Chinese Remainder Theorem, thereby demonstrating the existence of solutions for commutative rings. Subsequently, we show that weakening the generality of the theory can be advan- tageous, as it allows us to use the Euclidean algorithm to find these solutions. This work is intended for all mathematics enthusiasts who wish to delve deeper into the theory of divisibility, as we systematically build the theory from the ground up and compare it with traditional whole number division. 1