Bootstrap kvantové mechaniky a maticových modelů

Abstract

Konformný bootstrap je numerická metóda používaná pôvodne v konformnej teórii poľa (CFT), ktorá využíva symetrie a podmienky konzistencie. Predstavíme myšlienky boots- trapu v kvantovej mechanike a otestujeme ich v dvoch jednoduchých modeloch - harmo- nickom oscilátore a dvojjame. Odhadujeme spektrum harmonického oscilátora a porov- návame ho so známym presným spektrom, ktoré sa dá nájsť analyticky. Odhadujeme aj spektrum dvojjamy a zameriavame sa na rozdelenie základného stavu a prvého excitova- ného stavu. Porovnávame náš odhad pre štiepenie základného stavu s WKB aproximá- ciou a dráhovým integrálom okolo instantónu (one-loop aproximácia). Tieto metódy nie sú triviálne; opisujeme ich veľmi podrobne. Cieľom tejto práce je predstaviť a otestovať bootstrapovú metódu na dvoch jednoduchých kvantovo-mechanických systémoch, ktoré sme už spomenuli, pomocou našej implementácie v Pythone a porovnať získané výsledky s výsledkami získanými analyticky. 1

The conformal bootstrap is a numerical method used initially in Conformal Field The- ory (CFT), which leverages symmetries and consistency conditions. We introduce the bootstrap ideas in quantum mechanics and test them in two simple models - the harmo- nic oscillator and the double-well. We estimate the spectrum of the harmonic oscillator and compare it to the well-known exact spectrum that can be found analytically. We also estimate the spectrum of the double-well potential and focus on the splitting of the ground state and the first excited state. We compare our estimate for ground-state splitting with the WKB approximation and path integral around instanton (one-loop approximation). These methods are not trivial; we describe them in great detail. The aim of this thesis is to introduce and test the bootstrap method on two simple quantum mechanical systems mentioned earlier using our implementation in Python and compare the obtained results with the results obtained analytically. 1