Gama-nulové množiny

Abstract

The thesis is devoted to Gamma-null sets, which is a σ-ideal closely related to the differentiability of Lipschitz functions on Banach spaces. However, apart from the in- troduction, where we quickly summarize some known results on the differentiability of Lipschitz functions, the work does not focus on this aspect. The aim of the thesis is to show that the Gamma-null sets are well defined and to supplement the proofs of some known properties. The main contribution is a detailed treatment and completion of the omitted steps of the proof that Gamma-null and Lebesgue-null sets in Rn coincide. The main steps of the proof, as well as the concept of Gamma-nullness, come from the paper by Joram Lindenstrauss and David Preiss, On Fréchet differentiability of Lipschitz maps between Banach spaces (2003), which the thesis builds upon. Furthermore, the thesis demonstrates that Gamma-null sets form a non-trivial σ-ideal, the proof is not directly taken from the literature. 1

Práce se věnuje Gama-nulovým množinám, což je σ-ideál úzce spjatý s diferencova- telností lipschitzovských funkcí na Banachových prostorech. V práci se však mimo úvod, kde v rychlosti shrnujeme některé známé výsledky, již diferencovatelnosti lipschitzovských funkcí nevěnujeme. Cílem práce je zejména ukázat smysluplnost definice daného pojmu a doplnit důkazy některých známých vlastností. Hlavním přínosem je podrobné zpracování a doplnění vynechaných kroků důkazu, že Gama-nulové a lebesgueovsky nulové množiny v Rn splývají. Hlavní kroky důkazu, stejně jako pojem Gama-nulovosti, pochází z článku od Jorama Lindenstrausse a Davida Preisse On Fréchet differentiability of Lipschitz maps between Banach spaces (2003), o který se práce opírá. V práci dále ukazujeme, že Gama- nulové množiny tvoří netriviální σ-ideál, což přímo nepřebíráme z literatury. 1