Complexity of classification problems in topology

Abstract

Tato práce sestává ze tří článků. V prvním z nich se zabýváme kompaktními metri- zovatelnými prostory homeomorfními se svými čtverci, přičemž hlavním výsledkem je, že existuje systém mohutnosti kontinua po dvou nehomeomorfních kompaktních metrizo- vatelných nuldimenzionálních prostorů homeomorfních se svými čtverci. Tímto výsled- kem je zodpovězena otázka W. J. Charatonika. Ve druhém článku je dokázáno, že existuje borelovsky měřitelné zobrazení přiřazující každému Peanovu kontinuu X spojitou funkci z [0, 1] na X. Také je ukázáno, že existuje borelovsky měřitelné zobrazení přiřazující každé trojici (X, x, y), kde X je Peanovo kontinuum a x, y jsou dva různé body v X, oblouk v X s koncovými body x, y. Ve třetím článku je dokázáno, že relace homeomorfismu mezi absolutními retrakty v R2 je borelovsky bireducibilní s relací isomorfismu mezi spočet- nými grafy. Dále je ukázáno, že relace homeomorfismu mezi Peanovými kontinuy v R2 ani relace homeomorfismu mezi absolutními retrakty v R3 nejsou klasifikovatelné spočetnými strukturami. Rovněž je ukázáno, že relace homeomorfismu (a také relace vnějšího home- omorfismu) mezi kompakty v [0, 1]n je borelovsky reducibilní do relace homeomorfismu mezi kontinuy v [0, 1]n+1 . 1

This thesis consists of three articles. The first article focuses on compact metrizable spaces homeomorphic to their respective squares, the main result being that there ex- ists a family of size continuum of pairwise non-homeomorphic compact metrizable zero- dimensional spaces homeomorphic to their respective squares. This result answers a question of W. J. Charatonik. In the second article we prove that there exists a Borel measurable mapping assigning to each Peano continuum X a continuous function from [0, 1] onto X. We also show that there exists a Borel measurable mapping assigning to each triple (X, x, y), where X is a Peano continuum and x, y are distinct points in X, an arc in X with endpoints x, y. In the third article we prove that the homeomorphism relation for absolute retracts in R2 is Borel bireducible with the isomorphism relation for countable graphs. Moreover, we prove that neither the homeomorphism relation for Peano continua in R2 nor the homeomorphism relation for absolute retracts in R3 is clas- sifiable by countable structures. We also show that the homeomorphism relation (as well as the ambient homeomorphism relation) for compacta in [0, 1]n is Borel reducible to the homeomorphism relation for continua in [0, 1]n+1 . 1