Two-phase scheduling with unknown speeds

Abstract

Speed-robust scheduling is a two-stage scheduling problem with a makespan objective. We are given processing times of n jobs, number of machines m and number of bags b. We have to group the jobs into bags that are to be scheduled on machines of currently unknown speed. The goal is to minimize the worst-case ratio of our makespan and makespan of an adversary who does not have to create bags and assigns jobs directly to machines. So far, the problem has been mostly studied for b = m. We generalize previously known results for infinitesimal jobs (called sand) and prove that the best achievable competitive ratio is mb mb−(m−1)b . We present an algorithm for the case of identical jobs (called bricks) with competitive ratio at most 1.6 in the case b = m, improving the best previously known value of 1.8. We introduce a new category called p-pebbles, those are jobs with processing time at most p times the average load of a machine. Pebbles are half way between sand and the general case (called rocks). We present an algorithm for pebbles that has better robustness factor than the best known algorithm for rocks for small values of p (for p less than 2 − e e−1 in the case b = m). 1

Rychlostně robustní rozvrhování je dvoufázový rozvrhovací problém. Na vstupu je dána doba běhu pro každý z n úkolů, počet strojů m a počet balíčků b. Naším úkolem je rozdělit úkoly do balíčků, které budou následně zpracovány na strojích, které mají v tomto okamžiku neznámé rychlosti. Naším cílem je minimalizovat poměr délky našeho rozvrhu a délky optimáního rozvrhu, který by vznil umisťováním úkolů rovnou na stroje. Nejpodrobněji studovaný případ doposud byl b = m. V této práci zobecňujeme známé výsledky pro infinitizemálně malé úkoly (tento případ se nazývá písek) a dokážeme, že nejlepší kompetitivní poměr, kterého je možné dosáhnout, je mb mb−(m−1)b . Dále formulujeme algoritmus řešící případ s identickými úkoly (nazývaný cihly) za podmínky b = m s kompetitivním poměrem 1.6, což zlepšuje nejlepší doposud známou hodnotu 1.8. Zavedeme nový speciální případ, který budeme nazývat p-oblázky. V tomto případě jsou doby běhu jednotlivých úkolů nejvýše p-násobky průměrné zátěže stroje. Oblázky jsou vlastnostmi i obtížností na půl cesty mezi pískem a obecným případem (nazývaným kameny). Popíšeme algoritmus pro oblázky, který je pro malé hodnoty p lepší než nejlepší známý algoritmus pro kameny (pro p menší než 2 − e e−1 v případě b = m). 1