Ekvidekomposabilita

Abstract

Title: Equidecomposability Author: Matyáš Valkoun Department: Department of Mathematics Education Supervisor: Mgr. Zdeněk Halas, DiS., Ph.D., Department of Mathematics Education Abstract: This bachelor thesis focuses on the area of polygons and its definition by equidecomposability. In the plane ρ a simple polygon and its area is defined and the notion of equidecomposability is introduced. Since any two equidecomposable polygons have equal areas, a question arises if the opposite is also true: are any two polygons of equal area equidecomposable? That is the formulation of the Wallace-Bolyai-Gerwein theorem, its detailed proof is presented in this text. Thus the notions of equidecom- posability and equal area are equivalent. At the end of the thesis it is briefly examined if it is possible to use equidecomposability in the third dimension to define the volume of a polyhedron. Keywords: Area of a polygon, equidecomposability, Wallace-Bolyai-Gerwein theorem, triangulation 1

Název práce: Ekvidekomposabilita Autor: Matyáš Valkoun Katedra: Katedra didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Zdeněk Halas, DiS., Ph.D., Katedra didaktiky matem- atiky Abstrakt: Tato bakalářská práce se zaměřujeme na obsah mnohoúhelníku a jeho zave- dení pomocí ekvidekomposability. Nejprve je v rovině ρ je definován mnohoúhelník a jeho obsah, dále je zaveden pojem ekvidekomposabilita. Ukazuje se, že ekvidekompos- abilní (shodně rozložitelné) mnohoúhelníky mají stejný obsah. Nastává tak otázka, zda platí i opačné tvrzení: jsou dva mnohoúhelníky stejného obsahu shodně rozložitelné? To je znění Wallace-Bolyai-Gerweinovy věty, jejíž důkaz je v práci podrobně rozepsán. Díky existenci společného rozkladu dvou mnohoúhelníků stejného obsahu je tak rovnost ob- sahu a ekvidekomposabilita v rovině ekvivalentní. V závěru práce je zkoumána otázka, zda je možné využít ekvidekomposabilitu i v prostoru a zavést pomocí ní objem mno- hostěnu. Klíčová slova: Obsah mnohoúhelníku, ekvidekomposabilita, Wallace-Bolyai-Gerweinova věta, rozklad mnohoúhelníku na trojúhelníky 1