Využití gadgetové konstrukce pro strukturální konvergenci

Abstract

Structural convergence is a framework for convergence of graphs and relational struc- tures based on the probability of satisfaction of first-order formulas. We consider gadget construction, which is a ubiquitous tool in many areas of mathematics, as a method for constructing convergent sequences of structures. Both for elementary and local conver- gence, we investigate the behavior of a sequence created by gadget construction from convergent sequences of base structures and gadgets. We show that elementary conver- gence is always preserved while additional assumptions are necessary for local convergence as witnessed by several examples. We give various different conditions that ensure local convergence. One of them states that the resulting sequence is local convergent if the replaced edges are dense in the sequence of base structures. The sufficient conditions are partially complemented by inverse theorems. 1

Strukturální konvergence je framework konvergence grafů a relačních struktur zalo- žený na počítání pravděpodobnosti splnění formulí predikátové logiky. V práci navrhu- jeme gadgetovou konstrukci, která nalezla uplatnění v mnoha oblastech matematiky, jako metodu výroby konvergentních posloupností relačních struktur. Pro elementární a lokální konvergenci studujeme chování posloupnosti struktur vytvořených gadgetovou konstrukcí z konvergentních poslouností základních struktur a gadgetů. Ukazujeme, že elementární konvergence je vždy zachována, zatímco v případě lokální konvergence je potřeba dalších předpokladů, což ilustrujeme řadou příkladů. Dokazujeme několik postačujících podmínek pro zachování lokální konvergence. Jedna z nich říká, že posloupnost vytvořených struk- tur je lokálně konvergentní, pokud v posloupnosti základních struktur byly nahrazované hrany husté. Představené postačující podmínky částečně komplementujeme inverzními větami. 1