SPn approximation to the radiative heat transport equation

Abstract

This thesis is dedicated to a problem of heat transport where radiation is taken into account. Models for such setting, although complicated, are very important for industrial purposes. We provide a derivation and explanation of the fundamental physical model for ra- diative heat transport. The resulting system of radiative transfer equations (RTE) is then approximated with so-called SPn equations. Here, we focus on asymptotically de- riving a simple set of SP1 equations. Special attention is given to Marsak-type boundary conditions which we formulate in a more precise form than other sources. Inspired by the float-glass forming process, we look into problems with multiple do- mains with different refractive indices. For such an arrangement, there is a need for transition conditions describing the behaviour of the solutions on the interface between two domains of interest. By following an analogous procedure as for the boundary con- ditions, we have managed to identify a natural set of transition conditions that allow for discontinuity in the intensity variable. To our best knowledge, these conditions have not been yet presented in the literature. Finally, we present several numerical experiments of solving these equations in Wol- fram Mathematica software and compare them with benchmark results. 1

Tato práce je zaměřená na studium a popis úlohy přenosu tepla, při které uvažujeme také příspěvek přenosu zářením. Jde o úlohu velmi důležitou z hlediska praktického využití v průmyslu. V úvodu práce podrobně vysvětlujeme odvození stěžejního systému řídicích rovnic pro radiační přenos tepla. Vzhledem ke komplexnosti tohoto systému pokračujeme v další části představením aproximace pomocí tzv. SPn rovnic. Zaměříme se zejména na nejjed- nodušší sadu, SP1 rovnice, které odvodíme technikou asymptotického rozvoje. Zvláštní pozornost je věnována okrajovým podmínkám Marsakova typu, které jsou v různých zdrojích formulovány nepřesně. Tyto rovnice opět asymptoticky odvodíme do správného tvaru. Inspirováni výrobním procesem tabulového skla se zajímáme také o problematiku s více oblastmi o rozdílných indexech lomu. Pro řešení této úlohy je potřeba znát přecho- dové podmínky popisující chování teploty a intenzity záření na hranici mezi studovanými oblastmi. Obdobným postupem jako v případě okrajových podmínek se nám podařilo odvodit přirozenou sadu přechodových podmínek, které připouští jistou nespojitost v intenzitě záření. Tyto podmínky zřejmě doposud nebyly uvedeny v žádném článku zabý- vajícím se tímto tématem. Práci zakončíme ukázkami několika numerických experimetů v softwaru Wolfram Mathematica, ve kterých...