Partitions of totally positive elements in real quadratic fields

Abstract

We consider the additive semigroup O+ K(+) of totally positive integers in a real quadratic field K = Q( √ D). We define on O+ K(+) the partition function pK(α) and de- velop an algorithm for computing pK(α) for different square-free D and different α ∈ O+ K. We then investigate the behaviour of pK(α), characterizing the square-free numbers D for which pK(α) attains the numbers 1 through 5. Finally, we prove a sufficient condition for the number 6 to be attainable by pK(α). 1

V práci uvažujeme aditivní pologrupu O+ K(+) totálně kladných čísel v reálných kvad- ratických tělesech K = Q( √ D). Na O+ K(+) definujeme funkci pK(α) pro rozklady těchto čísel a navrhneme algoritmus, který počítá pK(α) pro různá bezčtvercová D a pro různá α ∈ O+ K. Dále analyzujeme chování funkce pK(α), přičemž charakterizujeme bezčtvercová D, pro která pK(α) nabývá hodnot 1 až 5. Nakonec ukážeme dostačující podmínku pro to, aby pK(α) nabývala hodnoty 6. 1