Odhady parametrů pro frakcionální Brownův pohyb

Abstract

This bachelor's thesis deals with a mathematical object called fractional Brownian motion, which has substantial applications in a wide variety of disciplines including, next to theoretical and financial mathematics, the fields of biology, geography, or information technology. This concept is a generalization of a standard Brownian motion, in which we do not assume the independence of its increments. In this thesis we define said object and explore its basic properties. Subsequently, we discuss the estimators of its Hurst index. We suggest a correction of one of the methods of constructing the estimator and demonstrate its effectiveness using both simulated and real-life data. 1

Tato bakalářská práce se zabývá matematickým objektem zvaným frakcionální Brow- nův pohyb, jenž má značná využití v širokém poli oborů jako je kromě teoretické či finanční matematiky také biologie, geografie, či informatika. Tento pojem je zobecněním standardního Brownova pohybu, u nějž však nepředpokládáme nezávislost jeho přírůstků. V této práci daný objekt definujeme a zkoumáme jeho základní vlastnosti. Následně se zabýváme odhady jeho Hurstova indexu. Navrhneme korekci jedné z metod konstrukce tohoto estimátoru a vhodnost jejího použití pak prezentujeme na simulovaných i reálných datech. 1