Howe duality and invariant differential equations

Abstract

Separation of variables for scalar-valued polynomials in k variables of dimension n, which asks for any such polynomial to be decomposed into a combination of invariant and harmonic polynomials, is known to be unique in the semistable range n ≥ 2k − 1. In this thesis, we explore the problem in the non-stable range n < 2k − 1. We give a systematic description of the non-uniqueness of separation of variables when n = 2k − 2 and n = 2k − 3 in terms of generalized Verma modules. We prove that the condition n ≥ 2k − 1 is not only sufficient, but also necessary for uniqueness. The problem is illustrated by a few detailed low-dimensional examples. As a prerequisite to the topic, we present a summary of the theory of classical Howe dual pairs and a classification of irreducible representations of the complex orthogonal group. 1

Separácia premenných pre polynómy so skalárnymi koeficientmi v k premenných di- menzie n vyžaduje, aby sa každý taký polynóm rozložil na kombináciu invariantných a harmonických polynómov. Je známe, že sepáracia premenných je jednoznačná v po- lostabilnom prípade n ≥ 2k − 1. V tejto práci skúmame problém v nestabilnom prípade n < 2k − 1. Systematicky popíšeme nejednoznačnosti separácie premenných pre hodnoty n = 2k −2 a n = 2k −3 pomocou zovšeobecnených Verma modulov. Ukážeme, že podmi- enka n ≥ 2k − 1 je nielen postačujúca, ale aj nutná pre jednoznačnosť separácie premen- ných. Problém ilustrujeme na viacerých detailne rozpracovaných nízko-dimenzionálnych príkladoch. Ako teoretický predpoklad k tematike odprezentujeme zhrnutie teórie klasic- kých Howeových duálnych párov a klasifikáciu ireducibilných reprezentácii komplexnej ortogonálnej grupy. 1