Mapping spaces of algebras over iterated +-construction for polynomial monads

Abstract

In a 2019 paper "Polynomial monads and delooping of maping spaces", Batanin and De Leger have introduced an extension of Grothendieck homotopy theory from the cate- gory of small categories to the category of polynomial monads. As an application (among other), they provided a new proof of a famous Tourchin-Dwyer-Hess theorem on explicit double loop space of mapping spaces between the associativity operad and an arbitrary reduced multiplicative operad. In this thesis we generalize Batanin-De Leger results to a sequence of polynomial mon- ads produced by iteration of the Baez and Dolan +-construction (the so called opetopic sequence). For the n-th element of the opetopic sequence, we introduce the monads called k-dimensional bimodules, 0 ≤ k ≤ n which generalize the notions of bimodules and infinitesimal bimodules over the associative operad for non-symmetric operads. The 0-dimensional bimodules are a sequence of categories of opetopes, with each the full subcategory of the next, which generalizes the simplicial category ∆ and the dentroidal category of planar trees Ωp. We show that an explicit double looping of the corresponding mapping space exists for any n ≥ 2, where n = 2 corresponds to the classical case. We provide a further reduceness condition on the multiplicative operad under which the third...

V roce 2019 Batanin a De Leger ve svém článku "Polynomiální monády a odsmyčkování prostorů zobrazení" zavedli rozšíření Grothendieckovy homotopické teorie z kategorie malých kategorií na kategorii polynomiálních monád. Jako aplikaci (mimo jiné) poskytli nový důkaz slavné Tourchinovy-Dwyerovy-Hessovy věty o explicitním dvojitém odsmyčkování prostoru zobrazení mezi asociativním operádem a libovolným redukovaným multiplika- tivním operádem. V této práci zobecňujeme Bataninovy-De Legerovy výsledky na posloupnost poly- nomiálních monád vzniklých iterací Baezovy a Dolanovy +-konstrukce (tzv. opetopická posloupnost). Pro n-tý prvek opetopické posloupnosti zavádíme monády nazývané k- dimenzionální bimoduly, 0 ≤ k ≤ n, které zobecňují pojmy bimodulů a infinitesimálních bimodulů nad asociativním operádem pro nesymetrické operády. 0-rozměrné bimoduly jsou posloupností kategorií opetopů, přičemž každá z nich je úplnou podkategorií další, což zobecňuje simpliciální kategorii ∆ a dentroidní kategorie planárních stromů Ωp. Ukážeme, že explicitní dvojí odsmyčkování odpovídajícího prostoru zobrazení existuje pro libovolné n ≥ 2, kde n = 2 odpovídá klasickému případu. Uvádíme další podmínku redukovanosti, pro které má třetí odsmyčkování prostoru zobrazení explicitní vyjádření. Doufáme, že tento výsledek bude užitečný pro...