Data assimilation in the theory of non-Newtonian fluids

Abstract

The purpose of this thesis is to provide a detailed proof of the well-posedness of the Ladyzhenskaya model and to study the data assimilation problem for this model. The thesis is divided into three parts. In the first part we study the Ladyzhenskaya model in two dimensions. This part serves as a general introduction into modern PDE theory, and the methods used here can be applied to a wider range of problems. We define the notion of weak solution, show uniform estimates for the finite dimensional approximations of the weak solution and prove it's existence via weak-compactness method. We also show uniqueness of weak solution. The second part is devoted to the data assimilation of the Ladyzhenskaya model in two dimensions. We show that the assimilation problem posses a weak solution and we study the convergence to the reference solution. We derive the bounds for the relaxation parameter and the spacial resolution of measured data, based on the long-time behaviour of the original problem. In the third and final part we study the data assimilation for the Ladyzhenskaya model in three dimensions. We establish well-posedness for p ≥ 5/2. We modify bounds for the behaviour of a solution when time approaches infinity and derive conditions for the data assimilation parameters, under which the assimilated solution...

Cílem této práce je poskytnout podrobný důkaz existence a jednoznačnosti pro mo- del Ladyzhenské a zkoumat problém asimilace dat pro tento model. Práce je rozdělena do tří částí. V první části studujeme model Ladyzhenské ve dvou dimenzích. Tato část slouží jako obecný úvod do moderní teorie parciálních diferenciálních rovnic a metody, které představujeme, mohou být aplikovány na širší škálu problémů. Definujeme pojem slabého řešení, ukazujeme uniformní odhady pro konečně rozměrné aproximace slabého řešení a dokazujeme jeho existenci pomocí metod slabé kompaktnosti. Ukazujeme také jednoznačnost slabého řešení. V druhé části se věnujeme asimilaci dat pro model Lady- zhenské ve dvou dimenzích. Ukazujeme, že problém asimilace má slabé řešení a zkoumáme konvergenci k referenčnímu řešení. Odvozujeme odhad pro relaxační parametr a prosto- rové rozlišení měřených dat, založené na dlouhodobém chování původního problému. Ve třetí a poslední části studujeme asimilaci dat pro model Ladyzhenské ve třech dimenzích. Formulujeme věty o existenci a jednoznačnosti pro p ≥ 5/2. Modifikujeme odhad pro chování řešení, když se čas blíží k nekonečnu, a odvozujeme podmínky pro parametry asimilace dat, za nichž se asimilované řešení blíží k referenčnímu řešení. 1