Sparsita a regularizácia v úlohách optimalizácie portfólia

Abstract

This thesis focuses on a problem which decision vector has limited number of non- zero elements. This limitation is ensured by adding cardinality constraint, but solving the mixed-integer reformulation of the problem is difficult. This mixed-integer problem is relaxed and then regularized or the exact penalty function is added. These two apporaches are described and applied on the portfolio theory. For this special type of problems we show relations between these two approaches. Basic summary of the theory of risk measures is used in numerical study, in which we compare penalization functions for few types of problems. 1

Táto práca je zameraná na optimalizačnú úlohu, ktorá má obmedzený počet nenu- lových prvkov v rozhodovacom vektore. Toto obmedzenie sa zaistí pridaním podmienky kardinality, pričom riešenie celočíselnej reformulácie úlohy je náročné. Preto sa táto úloha ďalej buď relaxuje a regularizuje, alebo sa pridá penalizačná funkcia. Oba tieto prístupy sú opísané a aplikované na teóriu portfólia. Pre tento špeciálny typ úloh sme ukázali vzťahy medzi oboma prístupmi. Základné zhrnutie mier rizika, ktoré sa v práci nachádza, je využité v numerickej časti. V nej porovnávame pre viacero typov úloh rôzne penalizačné funkcie. 1